Question

如圖，M為正方形ABCD邊AB的中點，E是AB延長線上的一點，MN⊥DM，且交∠CBE的平分線于N．
（1）求證：MD=MN；
（2）若將上述條件中的“M為AB邊的中點”改為“M為AB邊上任意一點”，其余條件不變，則結論“MD=MN”成立嗎？如果成立，請證明；如果不成立，說明理由．

Answer 1

分析：（1）要證MD=MN，就要構建△DFM≌△MBN，只需取AD的中點F，連接FM，依據正方形的性質可證
（2）只需作AF=AM，其余證法與1同．

解答：（1）證明：取AD的中點F，連接FM．（1分）
∵∠FDM+∠DMA=∠BMN+∠DMA=90°∴∠FDM=∠BMN，
∵AF=

1

2

AD=

1

2

AB=AM=MB=DF，
∵BN平分∠CBE，
∴∠DFM=∠MBN=135°．
∵DF=MB，
在△DFM和△MBN中
∵

∠FDM=∠BMN DF=BM ∠DFM=∠MBN

，
∴△DFM≌△MBN．（3分）
∴DM=MN．（4分）

（2）解：結論“DM=MN”仍成立．（5分）
證明如下：
在AD上截取AF'=AM，連接F'M．（6分）
∵DF'=AD-AF'，MB=AB-AM，AD=AB，AF'=AM，
∴DF'=MB．（7分）
∵∠F'DM+∠DMA=∠BMN+∠DMA=90°，
∴∠F'DM=∠BMN．（8分）
又∠DF'M=∠MBN=135°，
在△DF'M和△MBN中
∵

∠F′DM=∠BMN DF′=BM ∠DF′M=∠MBN

，
∴△DF'M≌△MBN．（9分）
∴DM=MN．（10分）

點評：本題綜合考查了利用正方形的性質和全等三角形的判定的知識．