Question

（2002•荊州）如圖，AB是⊙O的直徑，P為AB延長線上一點，PD切⊙O于點C，BC和AD的延長線相交于點E，且AD⊥PD．
（1）求證：AB=AE；
（2）當AB：BP為何值時，△ABE為等邊三角形并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）本題可連接OC，通過證明OC是三角形ABE的中位線，得出OC是AE的一半，根據AB是直徑，OC是半徑，那么AB=2OC，從而得出AE=AB；
（2）要使三角形ABE是等邊三角形，就必須有一個角是60°，那么可得出∠OCB=60°，∠P=30°，因此OP=2OC，那么O、B就是AP的三等分點，AB：PB=2：1．
解答：（1）證明：連接OC，
∵PD切⊙O于點C，
∴OC⊥PD；
又∵AD⊥PD，
∴OC∥AD；
∵O是AB的中點，
∴OC=AE，而OC=AB，
∴AB=AE．

（2）解：當AB：BP=2：1時，△ABE是等邊三角形．
理由如下：
由（1），知△ABE是等腰三角形，要使△ABE成為等邊三角形，
只需∠ABE=60°（或∠EAB=60°），從而∠OCB=60°，∠BCP=∠P=30°，
故PB=BC=AB，即當AB：BP=2：1時，△ABE是等邊三角形．
點評：本題綜合考查了切線的性質和三角形中位線的性質以及等邊三角形的判定等知識點．