Question

如圖，已知：在△ABC中，AB=CB，以AB為直徑的⊙O交AC于E，過E作ED⊥BC于F，交AB的延長線于D．
求證：（1）AE=CE；
（2）DE是⊙O的切線．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接BE，則BE⊥AC．根據等腰三角形三線合一的性質可證；
（2）連接OE，只要證明OE⊥DE即可．根據三角形中位線定理可得．
解答：證明：（1）連接BE．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AEB=90°．
∴BE⊥AC．                          （3分）
在△ABC中，
∵AB=CB，
∴AE=CE．                           （5分）

（2）連接OE．
∵AE=CE，OA=OB，
∴OE∥CB．                          （7分）
∵DE⊥CB，
∴OE⊥DE．
∴DE是⊙O的切線．                  （10分）
點評：本題考查了等腰三角形的性質、切線的判定、三角形中位線定理等知識點．
要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．