Question

已知：△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，BT為⊙O的切線，B為切點，P為直線AB上一點，過點P作BC的平行線交直線BT于點E，交直線AC于點F。

（1）當(dāng)點P在線段AB上時（如圖），求證：PA·PB=PE·PF； 　　
（2）當(dāng)點P為線段BA延長線上一點時，第（1）題中的結(jié)論還成立嗎？如果成立請給予證明，如果不成立請說明理由；　
（3）若AB=4，sin∠EBA=，求⊙O的半徑。

Answer 1

解：（1）∵BT切⊙O于點B，　　
∴∠EBA=∠C，　　
∵EF∥BC，
∴∠AFP=∠C，　　
∴∠AFP=∠EBP 　　
又∠APF=∠BPE，
∴△PFA∽△PBE，　　
∴=，即PA·PB=PE·PF；
（2）當(dāng)P為BA延長線上一點時，（1）題的結(jié)論仍成立
∵BT切⊙O于點B，
∴∠EBA=∠C，　　
∵EP∥BC，
∴∠PFA=∠C，　　
∴∠EBA=∠PFC，
又∠EPB=∠APF，　　
∴△EPB∽△APF，
∴，　　
∴PA×PB=PE×PF。
（3）作直徑AH連結(jié)BH，則∠ABH=90°，　　
∵EB切⊙O于B點，
∴∠H=∠EBA
在Rt△ABH中，AB=4，sin∠H=sin∠EBA=
∴AH==6
∴⊙O的半徑為3。