Question

如圖，在直角坐標系中，拋物線y=-x²+2x+c與y軸交于點D（0，3）．
（1）直接寫出c的值；
（2）若拋物線與x軸交于A、B兩點（點B在點A的右邊），頂點為C點，求直線BC的解析式；
（3）已知點P是直線BC上一個動點，
①當點P在線段BC上運動時（點P不與B、C重合），過點P作PE⊥y軸，垂足為E，連接BE．設點P的坐標為（x，y），△PBE的面積為s，求s與x的函數關系式，寫出自變量x的取值范圍，并求出s的最大值；
②試探索：在直線BC上是否存在著點P，使得以點P為圓心，半徑為r的⊙P，既與拋物線的對稱軸相切，又與以點C為圓心，半徑為1的⊙C相切？如果存在，試求r的值，并直接寫出點P的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）c=3．

（2）由（1）知拋物線為：y=-x²+2x+3，配方得y=-（x-1）²+4
∴頂點C坐標為（1，4）
令y=0得x₁=-1，x₂=3，
∴B（3，0）
設直線BC解析式為：y=kx+b（k≠0），把B、C兩點坐標代入，
得，
解得：k=-2，b=6，
∴直線BC解析式為：y=-2x+6，

（3）①∵點P（x，y）在y=-2x+6的圖象上，
∴PE=x，OE=-2x+6
∴PE•OE=
∴s=-x²+3x （1＜x＜3），
s=-（x²-3x+）+=-（x-）²+．
∵符合1＜x＜3，
∴當時，s取得最大值，最大值為．
②答：存在．
如圖，設拋物線的對稱軸交x軸于點F，則CF=4，BF=2．
過P作PQ⊥CF于Q，則Rt△CPQ∽Rt△CBF
∴，
∴CQ=2r，
當⊙P與⊙C外切時，CP=r+1．
∵CQ²+PQ²=CP²，
∴（2r）²+r²=（r+1）²
解得舍去）．
此時．
當⊙P與⊙C內切時，CP=r-1．
∵CQ²+PQ²=CP²，
∴（2r）²+r²=（r-1）²．
解得舍去）．
此時．
∴當⊙P與⊙C相切時．
點P的坐標為，．
（點P的坐標只寫1個不得分，寫出2個或3個得，寫出4個得2分）
分析：（1）將D（0，3），直接代入解析式求出即可；
（2）分別求出頂點C坐標為（1，4）以及令y=0得x₁=-1，x₂=3得出B（3，0），代入一次函數解析式即可得出直線BC的解析式；
（3）根據PE•OE=，求出s最大值即可，再根據當⊙P與⊙C外切時，以及當⊙P與⊙C內切時，分別得出P點的坐標．
點評：此題主要考查了二次函數的綜合應用以及直線解析式的求法，根據圓與圓的相切時分類討論，考查學生分類討論，數形結合的數學思想方法．