Question

正方形ABCD中，E是CD邊上一點，
（1）將△ADE繞點A按順時針方向旋轉，使AD、AB重合，得到△ABF，如圖1所示．觀察可知：與DE相等的線段是______，∠AFB=∠______
（2）如圖2，正方形ABCD中，P、Q分別是BC、CD邊上的點，且∠PAQ=45°，試通過旋轉的方式說明：DQ+BP=PQ
（3）在（2）題中，連接BD分別交AP、AQ于M、N，你還能用旋轉的思想說明BM²+DN²=MN²．

Answer 1

解：（1）∵△ADE繞點A按順時針方向旋轉，使AD、AB重合，得到△ABF，
∵DE=BF，∠AFB=∠AED．
故答案為BF，AED；
（2）將△ADQ繞點A按順時針方向旋轉90°，則AD與AB重合，得到△ABE，如圖2，
則∠EAQ=∠BAD=90°，AE=AQ，BE=DQ，
∵∠PAQ=45°，
∴∠PAE=45°，
∴∠PAQ=∠PAE，
在△APE和△APQ中
∵，
∴△APE≌△APQ，
∴PE=PQ，
而PE=PB+BE=PB+DQ，
∴DQ+BP=PQ；
（3）∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠ABD=∠ADB=45°，
如圖，將△ADN繞點A按順時針方向旋轉90°，則AD與AB重合，得到△ABK，
則∠ABK=∠ADN=45°，BK=DN，AK=AN，
與（2）一樣可證明△AMN≌△AMK得到MN=MK，
∵∠MBA+∠KBA=45°+45°=90°，
∴△BMK為直角三角形，
∴BK²+BM²=MK²，
∴BM²+DN²=MN²．
分析：（1）直接根據旋轉的性質得到DE=BF，∠AFB=∠AED；
（2）將△ADQ繞點A按順時針方向旋轉90°，則AD與AB重合，得到△ABE，根據旋轉的性質得∠EAQ=∠BAD=90°，AE=AQ，BE=DQ，而∠PAQ=45°，則∠PAE=45°，再根據全等三角形的判定方法得到△APE≌△APQ，則PE=PQ，于是PE=PB+BE=PB+DQ，即可得到DQ+BP=PQ；
（3）根據正方形的性質有∠ABD=∠ADB=45°，將△ADN繞點A按順時針方向旋轉90°，則AD與AB重合，得到△ABK，根據旋轉的性質得∠ABK=∠ADN=45°，BK=DN，AK=AN，與（2）一樣可證明△AMN≌△AMK得到MN=MK，由于∠MBA+∠KBA=45°+45°=90°，得到△BMK為直角三角形，根據勾股定理得BK²+BM²=MK²，然后利用等相等代換即可得到BM²+DN²=MN²．
點評：本題考查了旋轉的性質：旋轉前后兩圖形全等；對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉角．也考查了三角形全等的判定與性質、正方形的性質以及勾股定理．