Question

（2013•廈門）若x₁，x₂是關于x的方程x²+bx+c=0的兩個實數根，且|x₁|+|x₂|=2|k|（k是整數），則稱方程x²+bx+c=0為“偶系二次方程”．如方程x²-6x-27=0，x²-2x-8=0，x2+3x-

27

4

=0，x²+6x-27=0，x²+4x+4=0，都是“偶系二次方程”．
（1）判斷方程x²+x-12=0是否是“偶系二次方程”，并說明理由；
（2）對于任意一個整數b，是否存在實數c，使得關于x的方程x²+bx+c=0是“偶系二次方程”，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）求出原方程的根，再代入|x₁|+|x₂|看結果是否為2的整數倍就可以得出結論；
（2）由條件x²-6x-27=0和x²+6x-27=0是偶系二次方程建模，設c=mb²+n，就可以表示出c，然后根據公式法就可以求出其根，再代入|x₁|+|x₂|就可以得出結論．

解答：解：（1）不是，
解方程x²+x-12=0得，x₁=3，x₂=-4．
|x₁|+|x₂|=3+4=7=2×3.5．
∵3.5不是整數，
∴x²+x-12=0不是“偶系二次方程；

（2）存在．理由如下：
∵x²-6x-27=0和x²+6x-27=0是偶系二次方程，
∴假設c=mb²+n，
當b=-6，c=-27時，
-27=36m+n．
∵x²=0是偶系二次方程，
∴n=0時，m=-

3

4

，
∴c=-

3

4

b²．
∵x2+3x-

27

4

=0是偶系二次方程，
當b=3時，c=-

3

4

×3²．
∴可設c=-

3

4

b²．
對于任意一個整數b，c=-

3

4

b²時，
△=b²-4ac，
=4b²．
x=

-b±2b

2

，
∴x₁=-

3

2

b，x₂=

1

2

b．
∴|x₁|+|x₂|=2|b|，
∵b是整數，
∴對于任何一個整數b，c=-

3

4

b²時，關于x的方程x²+bx+c=0是“偶系二次方程”．

點評：本題考查了一元二次方程的解法的運用，根的判別式的運用根與系數的關系的運用及數學建模思想的運用，解答本體時根據條件特征建立模型是關鍵．