Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，BE平分∠ABC交AD于點E．DF平分∠ADC交BC于F．
（1）求證：△ABE≌△CDF；
（2）若BD⊥EF，則判斷四邊形EBFD是什么特殊四邊形，請證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）由平行四邊形ABCD可得出的條件有：①AB=CD，②∠A=∠C，③∠ABC=∠CDA；已知BE、CD分別是等角∠ABD、∠CDA的平分線，易證得∠ABE=∠CDF④；聯立①②④，即可由ASA判定所求的三角形全等；
（2）由（1）的全等三角形，易證得DE=BF，那么DE和BF平行且相等，由此可判定四邊形BEDF是平行四邊形，根據對角線垂直的平行四邊形是菱形即可得出EBFD的形狀．
解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠A=∠C，AB=CD，∠ABC=∠ADC，
∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴∠ABE=∠CDF（2分），
∴△ABE≌△CDF（ASA）；（4分）

（2）解：若BD⊥EF，則四邊形EBFD是菱形．
證明：由△ABE≌△CDF，得AE=CF（5分），
在平行四邊形ABCD中，AD平行BC，AD=BC，
∴DE∥BF，DE=BF，
∴四邊形EBFD是平行四邊形（6分），
∴若BD⊥EF，則四邊形EBFD是菱形．（8分）
點評：此題主要考查了平行四邊形的性質、全等三角形的判定和性質及菱形的判定方法．