Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，BC=6，等邊三角形DEF從初始位置（點E與點B重合，EF落在BC上，如圖1所示）在線段BC上沿BC方向以每秒1個單位的速度平移，DE、DF分別與AB相交于點M、N．當點F運動到點C時，△DEF停止運動，此時點D恰好落在AB上．在△DEF開始運動的同時，如果點P以每秒2個單位的速度從D點出發沿DE→EF運動，最終運動到F點．若設△DEF平移的時間為x秒，△PMN的面積為y．
（1）△DEF的邊長為______；
（2）當x為何值時，P點與M點重合？
（3）當點P在DE上時，x為何值時，△PMN是直角三角形？
（4）求y與x的函數關系式，并說明當P點在何處時，△PMN的面積最大？

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意知：當F與C點重合時D正好在AB上，此時三角形ACD中，∠ACD=90°-60°=30°，而∠A=60°，因此∠ADC=90°，可在直角三角形BCD中，根據∠B的正弦值及BC的長求出等邊三角形的邊長；
（2）根據∠BME=∠DEF-∠B=60°-30°=30°，得出∠BME=∠B，進而得出BE=ME=x，DM=3-x，求出x即可；
（3）根據當0≤x≤1時，①當x=0時，△PMN是直角三角形；②過N作NP⊥DE于P，此時△PMN是直角三角形，求出x即可；
當時，△PMN是鈍角三角形，不可能是直角三角形．
（4）當P與M重合時，那么根據P的速度可表示出DM的長，而ME=BE為三角形平移的距離，據此可求出x=1．當P到達E點時，DP=DE，可求得此時x=．
①當P在DM之間時，即0≤x≤1，MN的長可在直角三角形DMN中，根據DM和∠DMN的余弦值求出，過P作PP₁⊥MN于P₁，那么PP₁就是MN邊上的高，可在直角三角形MPP₁中根據MP的長和∠PMP₁的正弦值求出（MP可根據DE-DP-ME來得出）．據此可得出關于S，x函數關系式．
②當P在EM之間時，即1＜x≤，可過P作PP₂⊥AB與P₂，那么PP₂的長可在直角三角形PP₂M中，根據PM的長和∠BME的正弦值求出，進而可根據三角形的面積公式求出S、x的函數關系式．
③當P在EF上運動時，即≤x≤3，解法同上．
根據上述三種情況得出的函數的性質及各自的自變量的取值范圍，可求得S的最大值及對應的x的值．
解答：（1）解：當F點與C點重合時，如圖1所示：
∵△DEF為等邊三角形，
∴∠DFE=60°
∵∠B=30°，
∴∠BDF=90°
∴FD=BC=3；
故答案為：3；

（2）解：∵∠BME=∠DEF-∠B=60°-30°=30°，
∴∠BME=∠B，
∴BE=ME=x，DM=3-x，
當P點與M點重合時，有2x+x=3，
∴x=1；

（3）當0≤x≤1時，
①當x=0時，△PMN是直角三角形；
②過N作NP⊥DE于P，此時△PMN是直角三角形．
∵MP=DE-DP-ME=3-2x-x=3-3x，
，
∴，
∴，
∴，
當時，△PMN是鈍角三角形，不可能是直角三角形，
即當x=0或時，△PMN是直角三角形．

（4）①當0≤x≤1時，過P點作PP₁⊥AB，垂足為P₁，
在Rt△PMP₁中，PM=3-x-2x=3-3x，
∴，
∴y與x的函數關系式為：y=×（3-x）×（1-x），
=（x²-4x+3），
②當時，過P點作PP₂⊥AB，垂足為P₂，
在Rt△PMP₂中，PM=x-（3-2x）=3（x-1），
∴，
∴y與x的函數關系式為：y=×（3-x）×（x-1），
=-（x²-4x+3）；
③當時，過P點作PP₃⊥AB，垂足為P₃，
在Rt△PMP₃中，PB=x+（2x-3）=3（x-1），
∴，
∴y與x的函數關系式為：
y=×（3-x）×（x-1），
=-（x²-4x+3），
=-（x-2）²+，
∴當x=2時，，
而當P點在D點時，x=0，
y=×3××=，
∵，
∴當P點在D點時，△PMN的面積最大．
點評：此題考查了等邊三角形和直角三角形的性質、二次函數的應用等知識，綜合性強，此題應注意分類討論、數形結合的數學思想方法的應用．