Question

已知關于x的方程x²+kx-2=0．
（1）求證：不論k取何值，方程總有兩個不相等的實數根．
（2）若方程x²+kx-2=0的一個解與方程

x+1

x-1

=3的解相同．
（①求k的值；②求方程x²+kx-2=0的另一個解．

Answer 1

分析：（1）計算△=k²+8，由k²≥0，得到△＞0即可；
（2）先解分式方程得到x的值為1，然后把x=1代入方程x²+kx-2=0求出k的值，同時利用兩根之積為-2得到另一個解．

解答：解：（1）△=k²-4×（-2）=k²+8，
∵k²≥0，
∴△＞0．
所以不論k取何值，方程總有兩個不相等的實數根．
（2）方程

x+1

x-1

=3兩邊同乘以x-1得，x+1=3（x-1），解得x=2，經檢驗是原方程的解，所以x=2．
把x=2代入方程x²+kx-2=0，得4+2k-2=0，所以k=-1．
而方程兩根之積為-2，所以另一個解為-1．
因此k=-1，另一個解為-1．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數）根的判別式．當△＞0，方程有兩個不相等的實數根；當△=0，方程有兩個相等的實數根；當△＜0，方程沒有實數根．同時考查了分式方程的解法和一元二次方程的根與系數的關系．