Question

已知：在正方形ABCD的BC上取一點(diǎn)E，連接AE，把圖形沿AE邊翻折，問(wèn)：
（1）當(dāng)點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)B′落在對(duì)角線AC上時(shí)，求tan∠AEB的值；（結(jié)果保留根號(hào)）
（2）過(guò)點(diǎn)B′作的平行線BH交AD 于F交BC于H，判斷此時(shí)△EB′C與△AFB′相似嗎？如果相似，求出△EB′C與△AFB′相似的相似比．（結(jié)果保留根號(hào)）

Answer 1

分析：（1）先設(shè)BE=x，則EB′=x，根據(jù)翻折性質(zhì)易知△≌△AB′E，那么∠AB′E=90°，結(jié)合正方形性質(zhì)易證△EB′C為等腰直角三角形，利用勾股定理可求EC，從而可求BC，進(jìn)而可求tan∠AEB；
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)、正方形的性易知△AB′F與△EB′C均為等腰直角三角形，那么△AB′F∽△EB′C．易知B′H是△B′CE的高，根據(jù)三線合一定理可知CH=

1

2

CE，進(jìn)而可求AF，從而可求相似比

AF

B′C

．

解答：解：如圖所示，
（1）設(shè)BE=x，則EB′=x，△EB′C為等腰直角三角形，
∴EC=

2

x，
∴BC=x+

2

x=（1+

2

）x，
∴tan∠AEB=

AB

BE

=

BC

BE

=1+

2

；

（2）相似．因?yàn)椤鰽B′F與△EB′C均為等腰直角三角形．
∵AF=BC-CH，CH=

1

2

CE=

2

2

x，
∴AF=（1+

2

）x-

2

2

x=x+

2

2

x，
∴相似比=

AF

B′C

=

x+ 2 2 x

x

=1+

2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等腰三角形三線合一性質(zhì)．解題的關(guān)機(jī)那是求出BC，AF．