Question

已知：如圖，N、M是以O為圓心，1為半徑的圓上的兩點，B是上一動點（B不與點M、N重合），∠MON=90°，BA⊥OM于點A，BC⊥ON于點C，點D、E、F、G分別是線段OA、AB、BC、CO的中點，GF與CE相交于點P，DE與AG相交于點Q．
（1）四邊形EPGQ______（填“是”或者“不是”）平行四邊形；
（2）若四邊形EPGQ是矩形，求OA的值；
（3）連接PQ，求3PQ²+OA²的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由BA⊥OM，BC⊥ON，∠AOC=90°，可判定四邊形OABC是矩形，即可得AB∥OC，AB=OC，又由E、G分別是AB、CO的中點，即可得四邊形AECG為平行四邊形，連接OB，點D、E、F、G分別是線段OA、AB、BC、CO的中點，根據三角形中位線的性質，即可得PG∥EQ，即可判定四邊形EPGQ是平行四邊形；
（2）易得△AED∽△BCE，根據相似三角形的對應邊成比例與勾股定理，即可求得OA的長；
（3）連接GE交PQ于O′，易得O′P=O′Q，O′G=0′E，然后過點P作OC的平行線分別交BC、GE于點B′、A′，由△PCF∽△PEG，根據相似三角形的對應邊成比例與勾股定理，即可求得3PQ²+OA²的值．
解答：（1）是．
證明：連接OB，如圖①，

∵BA⊥OM，BC⊥ON，
∴∠BAO=∠BCO=90°，
∵∠AOC=90°，
∴四邊形OABC是矩形．
∴AB∥OC，AB=OC，
∵E、G分別是AB、CO的中點，
∴AE∥GC，AE=GC，
∴四邊形AECG為平行四邊形．
∴CE∥AG，
∵點D、E、F、G分別是線段OA、AB、BC、CO的中點，
∴GF∥OB，DE∥OB，
∴PG∥EQ，
∴四邊形EPGQ是平行四邊形；

（2）解：如圖②，

∵?EPGQ是矩形．
∴∠AED+∠CEB=90°．
又∵∠DAE=∠EBC=90°，
∴∠AED=∠BCE．
∴△AED∽△BCE，
∴=，
設OA=x，AB=y，則：=：x，
得y²=2x²，
又∵OA²+AB²=OB²，
即x²+y²=1²．
∴x²+2x²=1，
解得：x=．
即當四邊形EPGQ是矩形時，OA的長度為．

（3）解：如圖③，連接GE交PQ于O′，

∵四邊形EPGQ是平行四邊形，
∴O′P=O′Q，O′G=0′E．
過點P作OC的平行線分別交BC、GE于點B′、A′．
由△PCF∽△PEG得，===，
∴PA′=A′B′=AB，GA′=GE=OA，
∴A′O′=GE-GA′=OA，
在Rt△PA′O′中，PO′²=PA′²+A′O′²，
即=+，
又∵AB²+OA²=1，
∴3PQ²=AB²+，
∴OA²+3PQ²=OA²+（AB²+）=．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、平行四邊形的判定與性質、矩形的判定與性質以及勾股定理等知識．此題綜合性較強，難度較大，解題的關鍵是注意準確作出輔助線，注意數形結合思想與方程思想的應用．