Question

如圖，在直角坐標系中，正方形OABC的頂點O與原點重合，頂點A、C分別在x軸、y軸上，反比例函數（k≠0，x＞0）的圖象與正方形的兩邊AB、BC分別交于點M、N，ND⊥x軸，垂足為D，連接OM、ON、MN．下列結論：
①△OCN≌△OAM；②ON=MN；③四邊形DAMN與△MON面積相等；④若∠MON=45°，MN=2，則點C的坐標為（0，）．
其中正確結論的個數是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

Answer 1

【答案】分析：根據反比例函數的比例系數的幾何意義得到S_△ONC=S_△OAM=k，即OC•NC=OA•AM，而OC=OA，則NC=AM，在根據“SAS”可判斷△OCN≌△OAM；根據全等的性質得到ON=OM，由于k的值不能確定，則∠MON的值不能確定，所以確定△ONM為等邊三角形，則ON≠MN；根據S_△OND=S_△OAM=k和S_△OND+S_{四邊形DAMN}=S_△OAM+S_△OMN，即可得到S_{四邊形DAMN}=S_△OMN；作NE⊥OM于E點，則△ONE為等腰直角三角形，設NE=x，則OM=ON=x，EM=x-x=（-1）x，在Rt△NEM中，利用勾股定理可求出x²=2+，所以ON²=（x）²=4+2，易得△BMN為等腰直角三角形，得到BN=MN=，設正方形ABCO的邊長為a，在Rt△OCN中，利用勾股定理可求出a的值為+1，從而得到C點坐標為（0，+1）．
解答：解：∵點M、N都在y=的圖象上，
∴S_△ONC=S_△OAM=k，即OC•NC=OA•AM，
∵四邊形ABCO為正方形，
∴OC=OA，∠OCN=∠OAM=90°，
∴NC=AM，
∴△OCN≌△OAM，所以①正確；
∴ON=OM，
∵k的值不能確定，
∴∠MON的值不能確定，
∴△ONM只能為等腰三角形，不能確定為等邊三角形，
∴ON≠MN，所以②錯誤；
∵S_△OND=S_△OAM=k，
而S_△OND+S_{四邊形DAMN}=S_△OAM+S_△OMN，
∴四邊形DAMN與△MON面積相等，所以③正確；
作NE⊥OM于E點，如圖，
∵∠MON=45°，
∴△ONE為等腰直角三角形，
∴NE=OE，
設NE=x，則ON=x，
∴OM=x，
∴EM=x-x=（-1）x，
在Rt△NEM中，MN=2，
∵MN²=NE²+EM²，即2²=x²+[（-1）x]²，
∴x²=2+，
∴ON²=（x）²=4+2，
∵CN=AM，CB=AB，
∴BN=BM，
∴△BMN為等腰直角三角形，
∴BN=MN=，
設正方形ABCO的邊長為a，則OC=a，CN=a-，
在Rt△OCN中，∵OC²+CN²=ON²，
∴a²+（a-）²=4+2，解得a₁=+1，a₂=-1（舍去），
∴OC=+1，
∴C點坐標為（0，+1），所以④正確．
故選C．
點評：本題考查了反比例函數的綜合題：掌握反比例函數圖象上點的坐標特征、比例系數的幾何意義和正方形的性質；熟練運用勾股定理和等腰直角三角形的性質進行幾何計算．