Question

7、自然數n的正約數共有10個，則n的最小值是

48

．

Answer 1

分析：根據正整數的約數個數定理進行解答，即一個整數N（N＞1），如果它的標準分解式為，那么它的約數個數為（1+a₁）（1+a₂）…（1+a_n）．

解答：解：設 則n的正約數的個數=（1+a₁）（1+a₂）…（1+a_k），
∵10=1×10=2×5，
∴（1+a₁）（1+a₂）=1×10或（1+a₁）（1+a₂）=2×5，
由 1+a₁=1得a₁=0，
1+a₂=10得a₂=9，
∴此時最小的n為：2⁹=512，
由1+a₁=2得a₁=1，
1+a₂=5得a₂=4，
∴此時最小的n為：2⁴×3¹=16×3=48，
因此，具有10個正約數的自然數n的最小值為48．
故答案為：48．

點評：本題考查的是質因數的分解，熟知正整數的約數個數定理是解答此題的關鍵．