Question

如圖1，在平行四邊形ABCD中，AC=CD．
（1）求證：∠D=∠ACB；
（2）若點E、F分別為邊BC、CD上的兩點，且∠EAF=∠CAD．（如圖2）
①求證：△ADF∽△ACE；
②求證：AE=EF．

Answer 1

分析：（1）根據平行四邊形的性質可得到∠BCA=∠CAB，由等邊對等角可得到∠CAD=∠D，根據平行四邊形的性質利用SAS可判定△BCA≌△DAC，由全等三角形的性質即可得到結論．
（2）①根據兩組邊對應成比例且其夾角相等的兩個三角形相似即可得到結論．
②由△ADF∽△ACE可得到對應邊成比例，已知∠EAF=∠CAD從而可推出△AEF∽△ACD，已知AC=CD，根據對應成比例不難得到結論．

解答：證明：（1）∵AC=CD，
∴∠D=∠CAD．（1分）
∵平行四邊形ABCD，
∴AD∥BC．
∴∠CAD=∠ACB．（1分）
∴∠D=∠ACB．（1分）

（2）①∵∠EAF=∠CAD，
∴∠DAF=∠CAE．（2分）
又∵∠D=∠ACB，（1分）
∴△ADF∽△ACE．（2分）
②∵△ADF∽△ACE，
∴

AD

AF

=

AC

AE

．（1分）
∵∠EAF=∠CAD，
∴△AEF∽△ACD．（1分）
∴

AE

EF

=

AC

CD

．（1分）
又∵AC=CD，
∴AE=EF．（1分）

點評：此題主要考查學生對平行四邊形的性質及相似三角形的判定方法的綜合運用．