Question

直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD+BC＜DC，若腰DC上有一點P，使AP⊥BP，則這樣的點（ ）
A．不存在
B．只有一個
C．只有兩個
D．有無數個

Answer 1

【答案】分析：由題意可得使AP⊥BP的點P在以AB為直徑的圓上，根據圓與BC的位置關系即可得解．
解答：解：這樣的點有2個．
∵AP⊥BP，
∴P在以AB為直徑的圓上，令圓心為O．
當CD切⊙O于點P時，
則OP⊥CD，
∵AD∥BC、∠B=90°，
∴∠A=90°，
∴AD切⊙O于點A、BC切⊙O于點B，
∴由切線長定理得：AD=DP、BC=CP，
∴此時AD+BC=DP+CP=DC．
∵AD+BC＜DC，可理解為將DC由與⊙O相切時的位置向靠近圓心方的向平移，這樣，⊙O與DC就相交了．
∴有兩個交點．
故選C．
點評：本題考查了直角梯形的性質、圓與直線的位置關系，是一道考查學生綜合知識運用能力的中檔題．