Question

（2012•汕頭模擬）如圖，在⊙O中，直徑AB垂直于弦CD，垂足為E，連接AC，將△ACE沿AC翻折得到△ACF，直線FC與直線AB相交于點G．
（1）直線FC與⊙O有何位置關(guān)系？并說明理由；
（2）若OB=BG=4，求CD的長．

Answer 1

分析：（1）連接OC，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和折疊推出∠2=∠3，∠F=90°，推出OC∥AF，推出∠OCG=90°即可；
（2）根據(jù)解直角三角形求出∠COE=60°，根據(jù)Ssin60°=

CE

OC

，求出CE長，根據(jù)垂徑定理求出CD即可．

解答：解：（1）直線FC與⊙O相切，
理由如下：
連接OC，
∵OA=OC，
∴∠1=∠2，
由翻折得，∠1=∠3，∠F=∠AEC=90°，
∴∠2=∠3，
∴OC∥AF，
∴∠OCG=∠F=90°，
∴OC⊥FG，
∵OC為半徑，
∴直線FC與⊙O相切．

（2）解：在Rt△OCG中，cos∠COG=

OC

OG

=

OC

2OB

=

1

2

，
∴∠COG=60°，
在Rt△OCE中，CE=OC•sin60°=4×

3

2

=2

3

，
∵直徑AB垂直于弦CD，
∴CD=2CE=4

3

．

點評：本題考查了切線的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，垂徑定理，解直角三角形等知識點的應(yīng)用，能綜合運用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，題型較好．