Question

n個數圍成一圈，每次操作把其中某一個數換成這個數依次加上相鄰的兩個數后所得的和，或者換成這個數依次減去與它相鄰的兩個數后所得的差．例如：

（1）能否通過若干次操作完成圖中的變換？請說明理由．

（2）能否通過若干次操作完成圖中的變換請說明理由．

（3）能否通過若干次操作完成圖中的變換？請說明理由．

Answer 1

解：（1）

（2）不能．因為不管如何操作，變換后的4個數仍然除4余2，不可能出現0．

（3）不能．如果3個奇數2個偶數的圈能變出5個奇數，由于這個操作的過程是可逆的，則5個奇數的圈通過有限次操作后能變成3個奇數2個偶數，但不管如何操作，5個奇數的圈變換后仍然是5個奇數，故要求的變換不能實現．
分析：（1）根據最后的三個數，我們可以看出，它的前一個圖用的是題中給出的第二個算法，即用被換掉的數減去相鄰的兩個數得出的-2007，因此被換掉的數應該是1002，那么這個圖以前應該是換的2006，按第一個算法進行置換的，那么被換的數應該是1，依此類推往前翻，即可得出整個的轉換過程．
（2）不能，因為不管如何進行操作，都不可能出現0的．
（3）通過題中給出的兩個圖，我們發現這個轉換過程是可逆的過程，我們發現第一個圖中有兩個偶數，三個奇數，而第二個圖中只有5個奇數，因此當這個操作進行逆轉時，5個奇數是不可能得出偶數的．因此這個操作時不成立的．
點評：本題的解題關鍵是弄清楚題中給出的運算方法．然后再根據得出的運算規律進行操作和判斷．