Question

如圖，AB是⊙O的弦，D是半徑OA的中點，過D作CD⊥OA交弦AB于點E，交⊙O于F，且CE=CB.

（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）連接AF、BF，求∠ABF的度數(shù)；
（3）如果CD=15，BE=10，sin A=，求⊙O的半徑.

Answer 1

（1）連接OB，通過證明∠OBC=90°，從而證明BC是⊙O的切線   
（2）∠ABF=30° （3）

解析試題分析：解：
（1）證明：連接OB.∵OA=OB，∴∠A=∠OBE.
∵CE=CB，∴∠CEB=∠EBC，
∵∠AED =∠EBC，∴∠AED = ∠EBC，
又∵CD⊥OA ∴∠A+∠AED=∠OBA+∠EBC=90°，
∴BC是⊙O的切線；
（2）
∵CD垂直平分OA，∴OF=AF，
又OA=OF，∴OA=OF=AF，∴∠O=60°，∴∠ABF=30°；
（3）作CG⊥BE于G，則∠A=∠ECG.

∵CE=CB，BD=10，∴EG=BG=5，
∵sin∠ECG="sin" A =，∴CE=13，CG=12.又CD=15，∴DE=2.
∵△ADE∽△CGE，∴，即，
∴AD=，∴OA=，即⊙O的半徑是.
考點：圓的相關(guān)知識和相似形
點評：該題所應(yīng)用的考點較多，主要是圓的知識點，其中包括切線的證明和圓心角和圓周角的關(guān)系，這些都要求學(xué)生必須掌握。