Question

在平面直角坐標系xOy中，拋物線經過點N（2,－5），過點N作x軸的平行線交此拋物線左側于點M，MN=6.
【小題1】求此拋物線的解析式
【小題2】點P（x,y）為此拋物線上一動點，連接MP交此拋物線的對稱軸于點D，當△DMN為直角三角形時，求點P的坐標；
【小題3】設此拋物線與y軸交于點C，在此拋物線上是否存在點Q，使∠QMN=∠CNM ？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，說明理由.

Answer 1

【小題1】∵過點M、N（2，－5），，
由題意，得M（，）.
∴ 
解得 
∴此拋物線的解析式為. ……………………………2分
【小題2】設拋物線的對稱軸交MN于點G，

若△DMN為直角三角形，則.
∴D₁（，），（，）. …………………………………2分
直線MD₁為，直線為.
將P（x，）分別代入直線MD₁，
的解析式，
得①，②.
解①得，（舍），
∴（1,0）. …………………………………2分
解②得，（舍），
∴（3,－12）. ……………………………1分
【小題3】設存在點Q（x，），

使得∠QMN=∠CNM.
①若點Q在MN上方，過點Q作QH⊥MN，
交MN于點H，則.
即.                                                                   
解得，（舍）.
∴（，3）. ……………………………2分
②若點Q在MN下方，
同理可得（6，）. …………………2分解析:
（1）把M、N兩點坐標代入拋物線的解析式中計算出a、b的值即可；
（2）設拋物線的對稱軸交MN于點G，把P點坐標代入到直線MD方程中，從而解出P點的坐標；
（3）先設存在點Q（x，），分二種情況進行討論，Q在MN上方或下方，利用直角三角形的性質進行求解。