Question

已知關于x的一元二次方程有兩個實數根．
（1）若m為正整數，求此方程的根．
（2）設此方程的兩個實數根為a、b，若y=ab-2b²+2b+1，求y的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）一元二次方程有兩個實數根，則根的判別式△=b²-4ac≥0，建立關于m的不等式，求出m的取值范圍后，再取正整數；
（2）由根與系數的關系可得，把b代入方程得．∴y=ab-2b²+2b+1=ab-2（b²-b）+1==．再由m的取值范圍確定y的取值范圍．
解答：解：（1）∵一元二次方程有兩個實數根，
∴△=≥0，
∴m≤1．
∵m為正整數，
∴m=1，
當m=1時，此方程為，
∴此方程的根為．

（2）∵此方程的兩個實數根為a、b，
∴，．
∴y=ab-2b²+2b+1=ab-2（b²-b）+1==．
解法一：∵m=（y-1），
又∵m≤1，
∴m=（y-1）≤1，
∴y的取值范圍為y≤．
解法二：
∵m≤1，
∴≤，
∴≤，
∴y的取值范圍為y≤．
點評：本題重點考查了一元二次方程根的判別式和根與系數的關系，是一個綜合性的題目，也是一個難度中等的題目．