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已知關于x的一元二次方程x2+(m+3)x+m+1=0.
(1)求證:無論m取何值,原方程總有兩個不相等的實數根:
(2)若x1,x2是原方程的兩根,且|x1-x2|=2,求m的值,并求出此時方程的兩根.
【答案】分析:(1)根據關于x的一元二次方程x2+(m+3)x+m+1=0的根的判別式△=b2-4ac的符號來判定該方程的根的情況;
(2)根據根與系數的關系求得x1+x2=-(m+3),x1•x2=m+1;然后由已知條件“|x1-x2|=2”可以求得(x1-x22=(x1+x22-4x1x2=8,從而列出關于m的方程,通過解該方程即可求得m的值;最后將m值代入原方程并解方程.
解答:(1)證明:∵△=(m+3)2-4(m+1)…1分
=(m+1)2+4…3分
∵無論m取何值,(m+1)2+4恒大于0
∴原方程總有兩個不相等的實數根…4分

(2)∵x1,x2是原方程的兩根
∴x1+x2=-(m+3),x1•x2=m+1…5分
∵|x1-x2|=2∴(x1-x22=(22
∴(x1+x22-4x1x2=8…7分
∴[-(m+3)]2-4(m+1)=8∴m2+2m-3=0…9分
   解得:m1=-3,m2=1…10分
   當m=-3時,原方程化為:x2-2=0
             解得:x1=,x2=-…11分
   當m=1時,原方程化為:x2+4x+2=0
             解得:x1=-2+,x2=-2-…12分
點評:本題考查了根與系數的關系、根的判別式.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c為常數)的根的判別式△=b2-4ac.當△>0,方程有兩個不相等的實數根;當△=0,方程有兩個相等的實數根;當△<0,方程沒有實數根.
練習冊系列答案
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