Question

觀察下列各等式，并解答問題：

1

1×2

=1-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，

1

4×5

=

1

4

-

1

5

；…，以此類推，可得：
（1）

1

5×6

=___；
（2）

1

n(n+1)

=_____（n是正整數）
（3）計算：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2011×2012

．

Answer 1

分析：（1）分子為1，分母為相鄰2個數的乘積的分數，應分解為分子為1，分母分別為相鄰2個數的分數的差；
（2）結合（1）得到的規律進行計算即可；
（3）把每個分數進行分解，易得化簡后只剩第一個分數與最后一個分數，計算即可．

解答：解：（1）由所給等式可得

1

5×6

=

1

5

-

1

6

，
故答案為

1

5

-

1

6

；
（2）

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
故答案為

1

n

-

1

n+1

；
（3）原式=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2011

-

1

2012

=1-

1

2012

=

2011

2012

．

點評：考查數字的規律性計算；用類比的方法得到所給類型分數的分解方法是解決本題的關鍵．