Question

已知：如圖，△ABC內接于⊙O，過點B作⊙O的切線，交CA的延長線于點E，∠EBC=2∠C．
①求證：AB=AC；
②若tan∠ABE=
（ⅰ）求的值．
（ⅱ）求當AC=2時，AE的長．

Answer 1

【答案】分析：①由BE為圓O的切線，BA為圓的弦，即∠EAB為圓弦切角，根據弦切角等于所夾弧所對的圓周角，可得出∠EBA=∠C，根據已知的∠EBC=2∠C，得到∠ABC=∠C，根據等角對等邊可得出AB=AC，得證；
②（i）連接OA，由AB=AC，根據等弦對等劣弧得到A為弧BC的中點，根據垂徑定理的逆定理得到OA垂直于BC，D為BC的中點，再由∠EBA=∠C，由tan∠EBA的值得到tanC的值，即為tan∠ABC的值，在直角三角形ABD中，根據銳角三角函數定義得出AD與BD的比值，設AD=k，則有BD=2k，利用勾股定理表示出AB，再由BC=2BD，表示出BC，即可求出AB與BC的比值；
（ii）在△ADC中，由tanC的值，及銳角三角函數定義，設AD=x，則有CD=2x，由AC=2，利用勾股定理列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，確定出BC的長，再由∠EBA=∠C，以及一對公共角，利用兩對對應角相等的兩三角形相似可得出△ABE與△BCE相似，由相似得比例，將AB及BC的值代入，用EC表示出BE，再由BE²=AE•CE，由CE=AE+AC，并將AC及表示出的BE代入，得出關于AE的方程，求出方程的解即可得到AE的長．
解答：解：①∵BE為圓O的切線，BA為圓的弦，
∴∠EBA為弦切角，
∴∠EBA=∠C，又∠EBC=2∠C，
∴∠EBC=2∠EBA，
∴∠ABC=∠C，
∴AB=AC；

②（i）連接OA．
∵AB=AC，∴=，
∴OA⊥BC，
∴D為BC的中點，即BD=CD，
∵tan∠ABE=，∠EBA=∠ABC，
∴tan∠ABC=，
在Rt△ABD中，tan∠ABC==，
設AD=k，則BD=2k，BC=4k，
根據勾股定理得：AB==k，
則==；

（ii）在Rt△ADC中，AC=AB=2，tan∠ABE=tanC==，
設AD=x，DC=2x，根據勾股定理得：x²+（2x）²=2²，
解得：x=，
∴BC=2DC=4x=，
∵∠EBA=∠C，∠E=∠E，
∴△AEB∽△BEC，
∴====，
∴BE=AE，
又∵=，即BE²=AE•CE，
∴（AE）²=AE（AC+AE）=AE（2+AE），
整理得：AE²=2AE+AE²，
解得：AE=．
點評：此題考查了切線的性質，等腰三角形的判定與性質，弦、圓心角及弧之間的關系，勾股定理，垂徑定理，圓周角定理，相似三角形的判定與性質，以及銳角三角函數定義，熟練掌握性質及定理是解本題的關鍵．