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已知:如圖,△ABC內接于⊙O,過點B作⊙O的切線,交CA的延長線于點E,∠EBC=2∠C.
①求證:AB=AC;
②若tan∠ABE=
(ⅰ)求的值.
(ⅱ)求當AC=2時,AE的長.

【答案】分析:①由BE為圓O的切線,BA為圓的弦,即∠EAB為圓弦切角,根據弦切角等于所夾弧所對的圓周角,可得出∠EBA=∠C,根據已知的∠EBC=2∠C,得到∠ABC=∠C,根據等角對等邊可得出AB=AC,得證;
②(i)連接OA,由AB=AC,根據等弦對等劣弧得到A為弧BC的中點,根據垂徑定理的逆定理得到OA垂直于BC,D為BC的中點,再由∠EBA=∠C,由tan∠EBA的值得到tanC的值,即為tan∠ABC的值,在直角三角形ABD中,根據銳角三角函數定義得出AD與BD的比值,設AD=k,則有BD=2k,利用勾股定理表示出AB,再由BC=2BD,表示出BC,即可求出AB與BC的比值;
(ii)在△ADC中,由tanC的值,及銳角三角函數定義,設AD=x,則有CD=2x,由AC=2,利用勾股定理列出關于x的方程,求出方程的解得到x的值,確定出BC的長,再由∠EBA=∠C,以及一對公共角,利用兩對對應角相等的兩三角形相似可得出△ABE與△BCE相似,由相似得比例,將AB及BC的值代入,用EC表示出BE,再由BE2=AE•CE,由CE=AE+AC,并將AC及表示出的BE代入,得出關于AE的方程,求出方程的解即可得到AE的長.
解答:解:①∵BE為圓O的切線,BA為圓的弦,
∴∠EBA為弦切角,
∴∠EBA=∠C,又∠EBC=2∠C,
∴∠EBC=2∠EBA,
∴∠ABC=∠C,
∴AB=AC;

②(i)連接OA.
∵AB=AC,∴=
∴OA⊥BC,
∴D為BC的中點,即BD=CD,
∵tan∠ABE=,∠EBA=∠ABC,
∴tan∠ABC=
在Rt△ABD中,tan∠ABC==
設AD=k,則BD=2k,BC=4k,
根據勾股定理得:AB==k,
==

(ii)在Rt△ADC中,AC=AB=2,tan∠ABE=tanC==
設AD=x,DC=2x,根據勾股定理得:x2+(2x)2=22
解得:x=
∴BC=2DC=4x=
∵∠EBA=∠C,∠E=∠E,
∴△AEB∽△BEC,
====
∴BE=AE,
又∵=,即BE2=AE•CE,
∴(AE)2=AE(AC+AE)=AE(2+AE),
整理得:AE2=2AE+AE2
解得:AE=
點評:此題考查了切線的性質,等腰三角形的判定與性質,弦、圓心角及弧之間的關系,勾股定理,垂徑定理,圓周角定理,相似三角形的判定與性質,以及銳角三角函數定義,熟練掌握性質及定理是解本題的關鍵.
練習冊系列答案
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17、已知,如圖,△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于點D,BE平分∠ABC,交AD于點M,AN平分∠DAC,交BC于點N.
求證:四邊形AMNE是菱形.

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已知:如圖,△ABC中,AB=AC=10,BC=16,點D在BC上,DA⊥CA于A.
求:BD的長.

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已知:如圖,△ABC中,AD⊥BC,BD=DE,點E在AC的垂直平分線上.
(1)請問:AB、BD、DC有何數量關系?并說明理由.
(2)如果∠B=60°,請問BD和DC有何數量關系?并說明理由.

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同步練習冊答案
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