Question

如圖，在直角坐標系中，半徑為2cm的動圓M與y軸交于A、B兩點，且保持弦AB長為定值2cm，圓M與x軸沒有交點，且圓心M在第一象限內，P是x軸正半軸上一動點，MQ⊥AB于Q，且MP=3cm，設OA=ycm，OP=xcm．
（1）求x、y所滿足的關系式，并寫出x的取值范圍；
（2）當△MOP為等腰三角形時，求相應x的值；
（3）是否存在大于2的實數x，使△MQO∽△OMP？若存在，求出相應的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）過M點作MN⊥OA于N，連接MA，在Rt△AMQ中，AQ=AB，利用勾股定理求出MQ=，也就是ON的長度，而OQ=OA+AQ=y+1，在Rt△MNP中，再利用勾股定理列式整理即可得到y與x的關系式，根據被開方數不小于0解不等式即可求出x的取值范圍；
（2）因為兩條邊是腰長不明確，所以分①OP=PM，②OM=PM，③OM=OP三種情況討論求解；
（3）假設存在，根據相似三角形對應邊成比例列出比例式，解方程，如果符合條件，則存在，否則，假設不成立，不存在．
解答：解：（1）過M點作MN⊥OA，垂足為N，連接MA，
∵AB=2，MA=2，M為圓心，
∴AQ=AB=1，
∴ON=QM=，MN=y+1，
在Rt△MNP中，MP=3，PN=x-，
∴（y+1）²=9-（x-）²，
∴y=；

（2）當△MOP為等腰三角形時，
①若OP=PM=3時，x=3，
②若OM=PM時，x=2，
③若OM=OP時，有（y+1）²+3=x²
即9-（x-）²+3=x²，
解得或（舍去）；

（3）當△MQO∽△OMP時，有，
即，
∴，
∴，
解得或（舍去）但，
∴不存在滿足條件的實數x，使△MQO∽△OMP．
點評：本題考查點較多，有垂徑定理、勾股定理、等腰三角形的性質和相似三角形對應邊成比例的性質，熟練掌握性質并靈活運用是解題的關鍵．