Question

如圖，⊙O的直徑AB與弦CD相交于點E，若AE=5，BE=1，∠AED=30°．
（1）求OE和OA的長；  
（2）求CD的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）因為∠AED=30°，可過點O作OF⊥CD于F，構成直角三角形，先求得⊙O的半徑為3cm，進而求得OE=3-1=2；
（2）首先根據30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，得出OF=OE=1，再根據勾股定理求得DF的長，然后由垂徑定理求出CD的長．
解答：解：（1）過點O作OF⊥CD于F，連接DO，
∵AE=5，BE=1，
∴AB=6，
∴⊙O的半徑為3，
∴OE=3-1=2．
故OE的長為2，OA的長為3；

（2）∵∠AED=30°，
∴OF=1，
∴DF==2，
由垂徑定理得：CD=2DF=4．
故CD的長為4．
點評：考查了勾股定理，垂徑定理和含30度角的直角三角形．有關弦、半徑、弦心距的問題常常利用它們構造的直角三角形來研究，所以連半徑、作弦心距是圓中的一種常見輔助線添法．