Question

直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠C=90°，AB=BC，M為BC邊上一點．
（1）若∠DMC=45°，求證：AD=AM．
（2）若∠DAM=45°，AB=7，CD=4，求BM的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）作AF⊥CD交延長線于點F，根據∠DMC=45°，∠C=90°，得到∠B=∠C=∠AFD=90°，AB=BC，推出正方形ABCF，根據正方形的性質得到BC=CF，進一步證出△ABM≌△AFD，即可得到答案；
（2）把Rt△ABM繞點A順時針旋轉90°，使AB與AF重合，得Rt△AFN，由已知∠DAM=45°和旋轉，推出∠DAM=∠DAN，得到△ADM≌△ADN，設BM=x，得到CM=7-x，BM=FN=x，MD=DN=3+x，在Rt△CDM中，根據勾股定理即可求出答案．
解答：（1）證明：作AF⊥CD交延長線于點F．
∵∠DMC=45°，∠C=90°
∴CM=CD，
又∵∠B=∠C=∠AFD=90°，AB=BC，
∴四邊形ABCF為正方形，
∴BC=CF，
∴BM=DF，
在Rt△ABM和Rt△AFD中，
，
∴△ABM≌△AFD（SAS），
∴AD=AM．

（2）解：把Rt△ABM繞點A順時針旋轉90°，使AB與AF重合，得Rt△AFN．
∵∠DAM=45°，
∴∠BAM+∠DAF=45°，
由旋轉知∠BAM=∠NAF，
∴∠DAF+∠NAF=45°，
即∠DAM=∠DAN，
由旋轉知AM=AN，
∴△ADM≌△ADN，
∴DM=DN，
設BM=x，
∵AB=BC=CF=7，
∴CM=7-x
又∵CD=4，
∴DF=3，BM=FN=x，
∴MD=DN=3+x，
在Rt△CDM中，（7-x）²+4²=（3+x）²，
解得：x=．
∴BM的值為．
答：BM的值為．
點評：本題主要考查對直角梯形，全等三角形的性質和判定，正方形的性質和判定，勾股定理，垂線，旋轉的性質，解一元二次方程等知識點的理解和掌握，此題是一個拔高的題目，有一定的難度．