Question

【題目】如圖，△ABC的中線BD，CE交于點O，F，G分別是BO，CO的中點．

（1）求證：四邊形DEFG是平行四邊形．

（2）若AB＝AC，則四邊形DEFG是　 　（填寫特殊的平行四邊形）．

（3）若四邊形DEFG是邊長為2的正方形，試求△ABC的周長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）矩形；（3）4+4．

【解析】

（1）利用DE為△ABC的中位線得到DE∥BC，DE＝BC，利用FG為△OBC的中位線得到FG∥BC，FG＝BC，則ED＝FG，ED∥FG，然后根據平行四邊形的判定方法得到結論；

（2）利用等腰三角形腰上的中線相等得到BD＝CE，再根據三角形重心性質得到OD＝BD，OE＝CE，所以OD＝OE，然后根據矩形的判定方法得到四邊形DEFG是矩形；

（3）利用正方形的性質得到OE＝OD＝DE＝，∠DOE＝90°，則OB＝OC＝2OD＝2，再利用勾股定理計算出BE＝CD＝，所以AB＝AC＝2，由于BC＝2DE＝4，然后計算△ABC的周長．

（1）證明：∵BD和CE為△ABC的中線，

∴DE為△ABC的中位線，

∴DE∥BC，DE＝BC，

∵F，G分別是BO，CO的中點，

∴FG為△OBC的中位線，

∴FG∥BC，FG＝BC，

∴ED＝FG，ED∥FG，

∴四邊形DEFG是平行四邊形；

（2）解：∵AB＝AC，

∴BD＝CE，

∵點O為△ABC的重心，

∴OD＝BD，OE＝CE，

∴OD＝OE，

∵四邊形DEFG為平行四邊形，

∴四邊形DEFG是矩形；

故答案為：矩形；

（3）解：∵四邊形DEFG是正方形，

∴OE＝OD＝DE＝，∠DOE＝90°，

∴OB＝OC＝2OD＝2，

在Rt△BOE中，BE＝，

同理得CD＝，

∴AB＝AC＝2，

∵BC＝2DE＝4，

∴△ABC的周長＝2+2+4＝4+4．