Question

（2003•黃石）如圖，過Rt△ABC的直角頂點C作圓O，圓O與△ABC的兩邊AB、BC分別相切于D、C，并交AC邊于E．在優弧DE上任取一點F，連接FE、FD，若BC=a，cos∠EFD=．
①求證：AD=BD；
②試求∠EDA的大小；
③計算圓O的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）作輔助線，連接CD，由圓周角定理可得∠EFD=∠ECD，在Rt△ACB中，cosA=，cos∠EFD=，可得∠A=∠EFD=∠ECD，AD=CD，可得∠B=∠BCD，故可知CD=BD=AD；
（2）由BC、BD是⊙O的切線，可得BC=BD，而CD=BD，故△BCD為正三角形，∠B=60°，∠A=30°，又∠EDA=∠ECD，故可得∠EDA=∠A=30°；
（3）在Rt△EDC中，∠ECD=30°，可得ED=EC，而ED=EA，可得E為AC的三平分點，根據BC，tanB的值，可求得AC的長，故求得⊙O的半徑為AC的長，代入圓的面積公式S=πR²求解即可．
解答：（1）證明：連接CD，則∠EFD=∠ECD
在Rt△ACB中
cosA=
∵cos∠EFD=
∴∠A=∠EFD=∠ECD
∴AD=CD
又∵∠ACD+∠BCD=∠A+∠B=90°∴∠B=∠BCD
∴CD=BD
∴AD=BD．

（2）解：∵BC、BD與⊙O相切
∴BC=BD
∵CD=BD
∴△BCD為正三角形
∴∠B=60°，∠A=30°
又∵∠EDA=∠ECD
∴∠EDA=∠A=30°．

（3）解：在Rt△EDC中
∠ECD=30°
∴ED=EC
∵ED=EA
∴AE=EC
∴E是AC的三等分點
∵BC=a，tanB=
∴AC=a
∴⊙O的半徑r=CE=AC=a
∴⊙O的面積為S=πr²=πa²．
點評：本題考查了圓的切線性質，圓的面積計算及解直角三角形的知識，解題過程中要注意數形結合．