Question

18、如圖，在一條公路CD的同一側(cè)有A、B兩個(gè)村莊，A、B與公路的距離AC、BD分別為50m、70m，且C、D兩地相距50m，若要在公路旁（在CD上）建一個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)（看作一個(gè)點(diǎn)），則A、B兩村莊到集貿(mào)市場(chǎng)的距離之和最短是

130m

．

Answer 1

分析：本題即是要在CD上找一個(gè)點(diǎn)（設(shè)為點(diǎn)P），使AP+PB的和最小．設(shè)A′是點(diǎn)A關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)，當(dāng)A′、P、B三點(diǎn)共線時(shí)，AP+PB的和最小．

解答：解：延長(zhǎng)AC到A′，使A′C=AC，則A′與點(diǎn)A關(guān)于CD對(duì)稱．
連接A′B交CD于點(diǎn)P，連接PA，此時(shí)AP+PB的和最小．
∵A′與點(diǎn)A關(guān)于CD對(duì)稱，
∴PA′=PA，
∴AP+PB=A′P+PB=A′B．
過點(diǎn)B作AC的垂線，垂足為點(diǎn)E．
在直角△A′BE中，BE=CD=50m，A′E=A′C+CE=AC+BD=120m，
由勾股定理，得A′B=130m．
∴AP+PB=130m．
故A、B兩村莊到集貿(mào)市場(chǎng)的距離之和最短是130m．

點(diǎn)評(píng)：主要考查軸對(duì)稱--最短路線問題，本題關(guān)鍵是確定集貿(mào)市場(chǎng)點(diǎn)P的位置．