Question

(2005　煙臺)如圖所示，在平面直角坐標系中，以點為圓心，5為半徑的圓交x軸于A、B兩點，過點B作的切線，交y軸于點C，過點作x軸的垂線MN，垂足為D，一條拋物線(對稱軸與y軸平行)經過A、B兩點，且頂點在直線BC上．

(1)求直線BC的解析式；

(2)求拋物線的解析式；

(3)設拋物線與y軸交于點P，在拋物線上是否存在一點Q，使四邊形DBPQ為平行四邊形？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：略
解析：

解　這是一道代數與幾何的綜合題，要用數形結合的方法尋找已知與未知的聯系．尤其要利用好拋物線與圓有公共的對稱軸這一條件．通過幾何列式求出所需線段的長度．注意，用線段表示點的坐標時，一定要加上點所在象限的符號． (1)如圖所示，連接， ∵，MN過點且與x軸垂直， ∴，OD=2，． ∵的半徑為5， ∴BD=AD=4． ∴OA=6，OB=2． ∴A、B的坐標分別為(－6，0)、(2，0)． ∵BC切于B， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴點C的坐標為． 設直線BC的解析式為y=kx＋b． ∴， 解得． ∴直線BC的解析式為． (2)由圓和拋物線的對稱性可知M是拋物線的對稱軸，∴拋物線頂點的橫坐標為－2． ∵拋物線的頂點在直線上， ∴，即拋物線的頂點坐標為． 設拋物線的解析式為y=a(x＋6)(x－2)．把點的坐標代入y=a(x＋6)(x－2)得． 解得． ∴拋物線的解析式為． (3)由(2)得拋物線與y軸的交點P的坐標為(0，4)，若四邊形DBPQ是平行四邊形，則有BD∥PQ，BD=PQ，∴點Q的縱坐標為4． ∵BD=4，∴PQ=4．∴點Q的橫坐標為－4．∴點Q的坐標為(－4，4)． ∴當x=－4時，．∴點Q在拋物線上． ∴在拋物線上存在一點Q(－4，4)，使四邊形DBPQ為平行四邊形．