Question

在平面直角坐標系xOy中，矩形ABCO的頂點A、C分別在y軸、x軸正半軸上，點P在AB上，PA=1，AO=2．經過原點的拋物線y=mx²-x+n的對稱軸是直線x=2．
（1）求出該拋物線的解析式．
（2）如圖1，將一塊兩直角邊足夠長的三角板的直角頂點放在P點處，兩直角邊恰好分別經過點O和C．現在利用圖2進行如下探究：
①將三角板從圖1中的位置開始，繞點P順時針旋轉，兩直角邊分別交OA、OC于點E、F，當點E和點A重合時停止旋轉．請你觀察、猜想，在這個過程中，的值是否發生變化？若發生變化，說明理由；若不發生變化，求出的值．
②設（1）中的拋物線與x軸的另一個交點為D，頂點為M，在①的旋轉過程中，是否存在點F，使△DMF為等腰三角形？若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據①過原點，②對稱軸為直線x=2這兩個條件確定拋物線的解析式；
（2）①如答圖1所述，證明Rt△PAE∽Rt△PGF，則有==，的值是定值，不變化；
②若△DMF為等腰三角形，可能有三種情形，需要分類討論，避免漏解．
解答：解：（1）∵拋物線y=mx²-x+n經過原點，∴n=0．
∵對稱軸為直線x=2，∴-=2，解得m=．
∴拋物線的解析式為：y=x²-x．

（2）①的值不變．理由如下：
如答圖1所示，過點P作PG⊥x軸于點G，則PG=AO=2．

∵PE⊥PF，PA⊥PG，∴∠APE=∠GPF．
在Rt△PAE與Rt△PGF中，
∵∠APE=∠GPF，∠PAE=∠PGF=90°，
∴Rt△PAE∽Rt△PGF．
∴==．
②存在．
拋物線的解析式為：y=x²-x，
令y=0，即x²-x=0，解得：x=0或x=4，∴D（4，0）．
又y=x²-x=（x-2）²-1，∴頂點M坐標為（2，-1）．
若△DMF為等腰三角形，可能有三種情形：
（I）FM=FD．如答圖2所示：

過點M作MN⊥x軸于點N，則MN=1，ND=2，MD===．
設FM=FD=x，則NF=ND-FD=2-x．
在Rt△MNF中，由勾股定理得：NF²+MN²=MF²，
即：（2-x）²+1=x²，解得：x=，
∴FD=，OF=OD-FD=4-=，
∴F（，0）；
（II）若FD=DM．如答圖3所示：

此時FD=DM=，∴OF=OD-FD=4-．
∴F（4-，0）；
（III）若FM=MD．
由拋物線對稱性可知，此時點F與原點O重合．
而由題意可知，點E與點A重合后即停止運動，故點F不可能運動到原點O．
∴此種情形不存在．
綜上所述，存在點F（，0）或F（4-，0），使△DMF為等腰三角形．
點評：本題是二次函數綜合題型，難度不大．試題的背景是圖形的旋轉，需要對旋轉的運動過程有清楚的理解；第（3）問主要考查了分類討論的數學思想，需要考慮全面，避免漏解．