Question

如圖，在計算機屏幕上有一梯形ABCD，AB∥CD，A在坐標原點，B（15，0），C（12.3），D（6，3），MN是垂直于x軸的一條直線，MN與梯形的邊交于P，Q兩點．當MN從y軸向右移動時．梯形中被MN掃過的部分將改變顏色．設AQ=x，顏色改變部分的面積為S，求以x為自變量S的函數關系式．

Answer 1

分析：過D作DE⊥AB于E，畫出符合的四種情況，根據A、B、C、D的坐標求出PQ的值，根據面積公式求出即可．

解答：解：過D作DE⊥AB于E，分為三種情況：
①如圖1，當P在AD上時，此時0≤x≤6，
∵D（6，3），
∴OE=6，DE=3，
∵MN⊥AB．DE⊥AB，
∴PQ∥DE，
∴△AQP∽△AED，
∴

AQ

AE

=

PQ

DE

，
∴

x

6

=

PQ

3

，
PQ=

1

2

x，
∴S=S_△APQ=

1

2

×AQ×PQ=

1

2

•x•

1

2

x=

1

4

x²；

②如圖2，P在DC上，此時6＜x≤12，
DP=EQ=x-6，PQ=DE=3，AQ=x，
S=S_{四邊形ADPQ}=

1

2

×（DP+AQ）×PQ=

1

2

•（x-6+x）•3=3x-9；

③如圖3，P在BC上，此時12＜x＜15，
過C作CF⊥AB于F
則PQ∥CF，
∵B（15，0），C（12.3），D（6，3），
∴CF=3，BA=15，BQ=15-x，BF=15-12，DC=12-6=6，
∵CF∥PQ，
∴△PQB∽△CFB，
∴

PQ

CF

=

BQ

BF

，
∴

PQ

3

=

15-x

15-12

，
PQ=15-x，
∴S=S_{五邊形ADCPQ}
=S_梯形ABCD-S_△BPQ
=

1

2

×（DC+AB）×CF-

1

2

×BQ×PQ
=

1

2

×（6+15）×3-

1

2

•（15-x）•（15-x）
=-

1

2

x²+15x-81，
④當x≥15時，S=S_梯形ABCD=

1

2

×（6+15）×3=31.5；
綜合上述，S=

1 4 x2(0≤x≤6) 3x-9(6＜x≤12) - 1 2 x2+15x-81(12＜x＜15) 31.5(x≥15)

．

點評：本題考查了相似三角形的性質和判定和分段函數，關鍵是求出符合條件的所有情況，用了分類討論思想．