Question

如圖，在計算機屏幕上有一梯形ABCD，AB∥CD，A在坐標原點，B（15，0），C（12.3），D（6，3），MN是垂直于x軸的一條直線，MN與梯形的邊交于P，Q兩點．當MN從y軸向右移動時．梯形中被MN掃過的部分將改變顏色．設AQ=x，顏色改變部分的面積為S，求以x為自變量S的函數關系式．

Answer 1

解：過D作DE⊥AB于E，分為三種情況：
①如圖1，當P在AD上時，此時0≤x≤6，
∵D（6，3），
∴OE=6，DE=3，
∵MN⊥AB．DE⊥AB，
∴PQ∥DE，
∴△AQP∽△AED，
∴=，
∴=，
PQ=x，
∴S=S_△APQ=×AQ×PQ=•x•x=x²；

②如圖2，P在DC上，此時6＜x≤12，
DP=EQ=x-6，PQ=DE=3，AQ=x，
S=S_{四邊形ADPQ}=×（DP+AQ）×PQ=•（x-6+x）•3=3x-9；

③如圖3，P在BC上，此時12＜x＜15，
過C作CF⊥AB于F
則PQ∥CF，
∵B（15，0），C（12.3），D（6，3），
∴CF=3，BA=15，BQ=15-x，BF=15-12，DC=12-6=6，
∵CF∥PQ，
∴△PQB∽△CFB，
∴=，
∴=，
PQ=15-x，
∴S=S_{五邊形ADCPQ}
=S_梯形ABCD-S_△BPQ
=×（DC+AB）×CF-×BQ×PQ
=×（6+15）×3-•（15-x）•（15-x）
=-x²+15x-81，
④當x≥15時，S=S_梯形ABCD=×（6+15）×3=31.5；
綜合上述，S=．
分析：過D作DE⊥AB于E，畫出符合的四種情況，根據A、B、C、D的坐標求出PQ的值，根據面積公式求出即可．
點評：本題考查了相似三角形的性質和判定和分段函數，關鍵是求出符合條件的所有情況，用了分類討論思想．