Question

（1999•河南）AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，AD和過C點的切線相交于D，和⊙O相交于E．如果AC平分∠DAB，
（1）求證：∠ADC=90°；
（2）若AB=2r，AD=r，求DE．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OC，根據等腰三角形的性質及平行線的判定定理求出AD∥OC，再根據切線的性質解答即可．
（2）連接BC，根據圓周角定理可知∠ACB=90°，由（1）可求出Rt△ABC∽Rt△ACD，根據相似三角形的性質及勾股定理解答即可．
解答：（1）證明：連接OC，
∵CD是⊙O的切線，
∴OC⊥CD，（1分）
∵OA=OC，
∴∠1=∠2，
∵∠2=∠3，∴∠1=∠3，
∴AD∥OC，（2分）
∴AD⊥CD，
即∠ADC=90°．（3分）

（2）解：連接BC，則∠ACB=90°，（4分）
由（1）得∠2=∠3，∠ACB=∠ADC=90°，
∴Rt△ABC∽Rt△ACD，
∴，（5分）
即AC²=AB•AD=2r，
又∵CD²=AC²-AD²=，
且CD²=DE•AD，
∴DE=．（7分）
點評：本題考查了圓的切線性質，及解直角三角形的知識．運用切線的性質來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構造直角三角形解決有關問題．