Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于兩點，與軸交于點，且，.

（1）求拋物線的表達式；

（2）點是拋物線上一點．

①在拋物線的對稱軸上，求作一點，使得的周長最小，并寫出點的坐標；

②連接并延長，過拋物線上一點（點不與點重合）作軸，垂足為，與射線交于點，是否存在這樣的點，使得，若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①連接交拋物線對稱軸于點，則點即為所求，點的坐標為；②存在；點的坐標為或．

【解析】

（1）由，得到A（-2,0），C（3,0），即可寫出拋物線的交點式.

（2）①因為關于對稱軸對稱，所以，由兩點之間線段最短，知連接交拋物線對稱軸于點，則點即為所求，先用待定系數法求出解析式，將對稱軸代入得到點坐標.

②設點，根據拋物線的解析式、直線的解析式，寫出Q、M的坐標，分當在上方、下方兩種情況，列關于m的方程，解出并取大于-2的解，即可寫出的坐標.

（1）∵，，

結合圖象，得A（-2,0），C（3,0），

∴拋物線可表示為：，

∴拋物線的表達式為；

（2）①∵關于對稱軸對稱，

∴,

∴連接交拋物線對稱軸于點，則點即為所求.

將點，的坐標代入一次函數表達式，

得直線的函數表達式為.

拋物線的對稱軸為直線，

當時，,

故點的坐標為；

②存在；設點，則，.

當在上方時，

，，，解得（舍）或；

當在下方時，

，，，解得（舍）或，

綜上所述，的值為或5，

點的坐標為或.