Question

在等邊△ABC的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點M，N，D為△ABC外一 點，且∠MDN=60°，∠BDC=120°，BD=CD，探究：當點M、N分別在直線AB、AC上移動時，BM、NC、MN之間的數量關系及△AMN的周長Q與等邊△ABC的周長L的關系。

（1）如圖（1），當點M、N在邊AB、AC上，且DM=DN時，BM、NC、MN之間的數量關系是____；此時=____；
（2）如圖（2），當點M、N在邊AB、AC上，且當DM≠DN時，猜想（1）問的兩個結論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明；
（3）如圖（3），當點M、N分別在邊AB、CA的延長線上時，若AN=x，則Q=____（用x、L表示）。

Answer 1

解：（1）BM、NC、MN之間的數量關系BM+NC=MN，此時=；
（2）猜想：結論仍然成立， 證明：如圖，延長AC至E，使CE=BM，連接DE， ∵BD=CD，且∠BDC=120°， ∴∠DBC=∠DCB=30°， 又△ABC是等邊三角形， ∴∠MBD=∠NCD=90°， 在△MBD與△ECD中， BM=CE，∠MBD=∠ECD，BD=DC， ∴△MBD≌△ECD（SAS）， ∴DM=DE，∠BDM=∠CDE， ∴∠EDN=∠BDC-∠MDN=60°， 在△MDN與△EDN中： DM=DE，∠MDN=∠EDN，DN=DN， ∴△MDN≌△EDN（SAS）， ∴MN=NE=NC+BM， △AMN 的周長Q=AM+AN+MN =AM+AN+（NC+BM） =（AM+BM）+（AN+NC） =AB+AC =2AB， 而等邊△ABC的周長L=3AB， ∴；
（3）當M、N分別在AB、CA的延長線上時， 若AN=x，則Q=2x+L（用x、L表示）。