Question

在等邊△ABC的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點M、N，D為△ABC外一點，且∠MDN=60°，∠BDC=120°，BD=DC．探究：當M、N分別在直線AB、AC上移動時，BM、NC、MN之間的數量關系及△AMN的周長Q與等邊△ABC的周長L的關系．

（1）如圖1，當點M、N邊AB、AC上，且DM=DN時，BM、NC、MN之間的數量關系是______；此時=______；
（2）如圖2，點M、N邊AB、AC上，且當DM≠DN時，猜想（1）問的兩個結論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明；
（3）如圖3，當M、N分別在邊AB、CA的延長線上時，若AN=x，則Q=______（用x、L表示）．

Answer 1

【答案】分析：（1）如果DM=DN，∠DMN=∠DNM，因為BD=DC，那么∠DBC=∠DCB=30°，也就有∠MBD=∠NCD=60+30=90°，直角三角形MBD、NCD中，因為BD=CD，DM=DN，根據HL定理，兩三角形全等．那么BM=NC，∠BMD=∠DNC=60°，三角形NCD中，∠NDC=30°，DN=2NC，在三角形DNM中，DM=DN，∠MDN=60°，因此三角形DMN是個等邊三角形，因此MN=DN=2NC=NC+BM，三角形AMN的周長Q=AM+AN+MN=AM+AN+MB+NC=AB+AC=2AB，三角形ABC的周長L=3AB，因此Q：L=2：3．
（2）如果DM≠DN，我們可通過構建全等三角形來實現線段的轉換．延長AC至E，使CE=BM，連接DE．（1）中我們已經得出，∠MBD=∠NCD=90°，那么三角形MBD和ECD中，有了一組直角，MB=CE，BD=DC，因此兩三角形全等，那么DM=DE，∠BDM=∠CDE，∠EDN=∠BDC-∠MDN=60°．三角形MDN和EDN中，有DM=DE，∠EDN=∠MDN=60°，有一條公共邊，因此兩三角形全等，MN=NE，至此我們把BM轉換成了CE，把MN轉換成了NE，因為NE=CN+CE，因此NM=BM+CN．Q與L的關系的求法同（1），得出的結果是一樣的．
（3）我們可通過構建全等三角形來實現線段的轉換，思路同（2）過D作∠CDH=∠MDB，三角形BDM和CDH中，由（1）中已經得出的∠DCH=∠MBD=90°，我們做的角∠BDM=∠CDH，BD=CD因此兩三角形全等（ASA）．那么BM=CH，DM=DH，三角形MDN和NDH中，已知的條件有MD=DH，一條公共邊ND，要想證得兩三角形全等就需要知道∠MDN=∠HDN，因為∠CDH=∠MDB，因此∠MDH=∠BDC=120°，因為∠MDN=60°，那么∠NDH=120°-60°=60°，因此∠MDN=∠NDH，這樣就構成了兩三角形全等的條件．三角形MDN和DNH就全等了．那么NM=NH=AN+AC-BM，三角形AMN的周長Q=AN+AM+MN=AN+AB+BM+AN+AC-BM=2AN+2AB．因為AN=x，AB=L，因此三角形AMN的周長Q=2x+L．
解答：解：（1）如圖，BM、NC、MN之間的數量關系BM+NC=MN．
此時．

（2）猜想：結論仍然成立．
證明：如圖，延長AC至E，使CE=BM，連接DE．
∵BD=CD，且∠BDC=120°，
∴∠DBC=∠DCB=30°．
又△ABC是等邊三角形，
∴∠MBD=∠NCD=90°．
在△MBD與△ECD中：
∴△MBD≌△ECD（SAS）．
∴DM=DE，∠BDM=∠CDE．
∴∠EDN=∠BDC-∠MDN=60°．
在△MDN與△EDN中：，
∴△MDN≌△EDN（SAS）．
∴MN=NE=NC+BM．
△AMN的周長Q=AM+AN+MN
=AM+AN+（NC+BM）
=（AM+BM）+（AN+NC）
=AB+AC
=2AB．
而等邊△ABC的周長L=3AB．
∴．

（3）如圖，當M、N分別在AB、CA的延長線上時，若AN=x，
則Q=2x+（用x、L表示）．
點評：本題考查了三角形全等的判定及性質；題目中線段的轉換都是根據全等三角形來實現的，當題中沒有明顯的全等三角形時，我們要根據條件通過作輔助線來構建于已知和所求條件相關的全等三角形．