Question

已知拋物線與軸交于點A（，0），

（1）直接寫出拋物線與軸的另一個交點B的坐標；

（2）若直線過拋物線頂點M及拋物線與軸的交點(0，3)．

① 求直線MC所對應的函數關系式；

② 若直線MC與軸的交點為，在拋物線上是否存在點，使得△NPC是以NC為直角邊的直角三角形？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.

 

 

 

Answer 1

【答案】

（1）B（1，0）（2）①②，），，），

【解析】解：（1）B（1，0）................(3分)

（2）①∵點B（1，0），C（0，3）在拋物線上，拋物線與軸交于點C（0，3）.

∴ 解得∴拋物線所對應的函數關系式為.....(5分)

∴M（，4）設直線MC所對應的函數關系式為，

∴，解得，∴直線MC所對應的函數關系式為．....(7分)

②假設在拋物線上存在異于點C的點P，使得△NPC是以NC為直角邊的直角三角形．

 

 ①若PN為△NPC的另一條直角邊，如圖1．

  易得直線MC與x軸的交點坐標為N（3，0）．

 ∵OC=ON，，∴，

  在軸上取點D（0，），連結ND交拋物線于點P．

  ∵ON=OD，∴．∴．

  設直線ND的函數表達式為．

    可得，解得  

 ∴直線ND的函數表達式為．....(9分)

    設點P（x，），并將它代入拋物線的函數表達式，得

   即．解得，

∴， 

∴滿足條件的點為，），....(10分)

，）． 

  ②若PC是另一條直角邊，如圖2．

  ∵點A是拋物線與x軸的另一交點，

∴點A的坐標為（，0）．

  連結AC．∵OA=OC，∴．又，

  ∴，∴點A就是所求的點（，0）．   ....(12分)

  [或：求出直線AC的函數表達式為．設點P（x，），代入拋物線  的函數表達式，得，即．解得，． ∴，，∴點，，，（舍去）．]

 綜上可知，在拋物線上存在滿足條件的點有3個，分別，），，），．....(13分)

（1）根據已知拋物線的解析式，可得到拋物線的對稱軸方程，從而根據A點坐標求出點B的坐標．

（2）根據A、B、C三點坐標，即可求得拋物線的解析式和它的頂點坐標；

①已經求得M、C的坐標，利用待定系數法求解即可；

②假設存在符合條件的P點，分兩種情況考慮：

1）以N為直角頂點，即PN為另一條直角邊；

易求得點N的坐標，根據C、N點的坐標可知∠CNO=45°，若∠PNC=90°，可在y軸截取OD=ON，易得點D的坐標，即可求出直線DN的解析式，聯立拋物線的解析式即可得到點P的坐標；

2）以C為直角頂點，即PC為另一條直角邊；

根據A、C的縱坐標知：∠CAN=45°，此時∠ACN=90°，那么點A即為所求的P點；

綜合上述兩種情況，即可得到符合條件的P點坐標．