Question

（2008•棗莊）已知：如圖，在半徑為4的⊙O中，AB、CD是兩條直徑，M為OB的中點，CM的延長線交⊙O于點E，且EM＞MC．連接DE，DE=．
（1）求EM的長；
（2）求sin∠EOB的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據圓周角定理及勾股定理可求出CE的長，再由相交弦定理求出EM的長即可；
（2）由（1）中所求EM的長判斷出△OEM為等腰三角形，過E作EF⊥OM，根據等腰三角形的性質及勾股定理可求出OF，EF的長，進而求出sin∠EOB的值．
解答：解：如圖，（1）∵DC為⊙O的直徑，
∴DE⊥EC（1分）
∵DC=8，DE=
∴EC=
==7（2分）
設EM=x，由于M為OB的中點，
∴BM=2，AM=6，
由相交弦定理AM•MB=EM•CM，（3分）
即6×2=x（7-x），x²-7x+12=0
解這個方程，得x₁=3，x₂=4
∵EM＞MC
∴EM=4；（5分）

（2）∵OE=EM=4
∴△OEM為等腰三角形
過E作EF⊥OM，垂足為F，則OF=OM=1
∴EF===
∴sin∠EOB=．（8分）
點評：本題考查的是圓周角定理及等腰三角形的性質，屬中學階段的基本內容．