Question

【題目】如圖所示，已知⊙O的半徑為2，弦BC的長為，點A為弦BC所對優弧上任意一點(B、C兩點除外) (參考數據：，，．

(1)求∠BAC的度數；

(2)求△ABC面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）60°；（2）

【解析】

（1）連接BO并延長交⊙O于點D，連接CD，得到∠DCB＝90°，BD＝4，再解直角三角形即可解答.

（2）因為△ABC的邊BC的長不變，所以當BC邊上的高最大時，△ABC的面積最大，此時點A應落在優弧BC的中點處，過OE⊥BC于點E，延長EO交 O于點A，則A為優弧BC的中點，連接AB，AC，則AB=AC，由圓周角定理可求出∠BAE的度數，在Rt△ABE中，利用銳角三角函數的定義及特殊角的三角函數值可求出AE的長，由三角形的面積公式即可解答．

(1)連接BO并延長交⊙O于點D，連接CD．

∵ BD是直徑，∴ BD＝4，∠DCB＝90°．

在Rt△DBC中，，

∴ ∠BDC＝60°，∴ ∠BAC＝∠BDC＝60°．

(2)因為△ABC的邊BC的長不變，所以當BC邊上的高最大時，△ABC的面積最大，此時點A應落在優弧BC的中點處．

過O作OE⊥BC于點E，延長EO交⊙O于點A，則A為優孤BC的中點．連結AB，AC，

則AB＝AC，∠BAE∠BAC＝30°．

在Rt△ABE中，

∵ BE，∠BAE＝30°，

∴ ，

∴ ．

答：△ABC面積的最大值是．