Question

16．如圖，正方形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，∠ACB的角平分線分別交AB、BD于M、N兩點，若AM=4，則線段ON的長為2．

Answer 1

分析 作MH⊥AC于H，如圖，根據正方形的性質得∠MAH=45°，則△AMH為等腰直角三角形，再求出AH，MH，MB，CH/CO，然后證明△CON∽△CHM，再利用相似比可計算出ON．

解答 解：作MH⊥AC于H，如圖，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠MAH=45°，
∴△AMH為等腰直角三角形，
∴AH=MH=$\frac{\sqrt{2}}{2}AM=\frac{\sqrt{2}}{2}×4=2\sqrt{2}$，
∵CM平分∠ACB，
∴BM=MH=$2\sqrt{2}$，
∴AB=4+2$\sqrt{2}$，
∴AC=$\sqrt{2}$AB=4$\sqrt{2}$+4，
∴OC=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{2}$+2，CH=AC-AH=4$\sqrt{2}$+4-2$\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$+4，
∵BD⊥AC，
∴ON∥MH，
∴△CON∽△CHM，
∴$\frac{ON}{MH}=\frac{OC}{CH}$，即$\frac{ON}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}+2}{2\sqrt{2}+4}$，
∴ON=2，
故答案為：2

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質：在判定兩個三角形相似時，應注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構造相似三角形．也考查了角平分線的性質和正方形的性質．