Question

已知2^a•5^b=2^c•5^d=10，求證：（a-1）（d-1）=（b-1）（c-1）．

Answer 1

證明：∵2^a•5^b=10=2×5，
∴2^a-1•5^b-1=1，
∴（2^a-1•5^b-1）^d-1=1^d-1，①
同理可證：（2^c-1•5^d-1）^b-1=1^b-1，②
由①②兩式得2^{（a-1）（d-1）}•5^{（b-1）（d-1）}=2^{（c-1）（b-1）}•5^{（d-1）（b-1）}，
即2^{（a-1）（d-1）}=2^{（c-1）（b-1）}，
∴（a-1）（d-1）=（b-1）（c-1）．
分析：由2^a•5^b=10，首先把10轉化為2×5的形式，據同底數冪的除法，底數不變指數相減可以得到一個關于指數ab等于1的等式，根據等式乘方原則等式兩邊同時乘方d-1等式仍成立；同理可得到一個關于指數cd的等于1等式，根據等式乘方原則等式兩邊同時乘方b-1等式仍成立．兩個等式聯立相等，即可得到結論．
點評：本題考查了同底數冪的除法，同底數冪的乘法，冪的乘方等知識點，各知識點很容易混淆，一定要記準法則才能解題．