Question

15．解方程$x=\sqrt{x-\frac{1}{x}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}}$．

Answer 1

分析 首先將無理方程整理為整式方程，進而利用因式分解法分解因式，再利用換元法求出x的值，進而檢驗得出．

解答 解：把$\sqrt{x-\frac{1}{x}}$移到等號的左邊，然后兩邊平方的得到：x²+x-$\frac{1}{x}$-2x$\sqrt{x-\frac{1}{x}}$=1-$\frac{1}{x}$，
整理得：x²+x-1=2x$\sqrt{x-\frac{1}{x}}$，
再平方，得：x⁴+x²+1-2x+2x³-2x²=4x³-4x；
整理得：x⁴-2x³-x²+2x+1=0
則（x-1）x（x+1）（x-2）=-1．
分組展開，前兩項一組，后兩項一組，展開后得 （x²-x）（x²-x-2）=-1
令 a=x²-x
則原方程化為 a（a-2）=-1
即 a²-2a+1=0
a₁=a₂=1
所以 x²-x=1
解得 x₁=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，x₂=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$，
將x₂帶回原方程$\sqrt{1-\frac{1}{x}}$=x-$\sqrt{x-\frac{1}{x}}$，發現x-$\sqrt{x-\frac{1}{x}}$＜0，方程不成立，
而x₁=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$能使原方程成立，
所以原方程的解為：x=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．

點評 此題主要考查了無理方程的解法，正確轉化方程形式是解題關鍵．