Question

如圖所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，半徑為1的圓A與邊AB相交于點D，與邊AC相交于點E，連結(jié)DE并延長，與線段BC的延長線交于點P。
（1）當∠B=30°時，連結(jié)AP，若△AEP與△BDP相似，求CE的長；
（2）若CE=2，BD=BC，求∠BPD的正切值；
（3）若，設(shè)CE=x，△ABC的周長為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.

Answer 1

解：（1）∵∠B=30°，∠ACB=90°
∴∠BAC=60°
∵AD=AE
∴∠AED=60°=∠CEP
∴∠EPC=30°
∴三角形BDP為等腰三角形
∵△AEP與△BDP相似
∴∠EAP=∠EPA=∠DBP=∠DPB=30°
∴AE=EP=1
∴在RT△ECP中，EC=EP=；
（2）過點D作DQ⊥AC于點Q，且設(shè)AQ=a，BD=x
∵AE=1，EC=2
∴QC=3-a
∵∠ACB=90°
∴△ADQ與△ABC相似
∴
即，
∴
∵在RT△ADQ中
∵
∴
解之得x=4，即BC=4
過點C作CF//DP
∴△ADE與△AFC相似，
∴，
即AF=AC，即DF=EC=2，
∴BF=DF=2
∵△BFC與△BDP相似
∴，
即：BC=CP=4
∴tan∠BPD=；
（3）過D點作DQ⊥AC于點Q，則△DQE與△PCE相似，設(shè)AQ=a，則QE=1-a
∴且
∴
∵在Rt△ADQ中，據(jù)勾股定理得：
即：，
解之得
∵△ADQ與△ABC相似
∴
∴
∴三角形ABC的周長
即：，其中x>0。