Question

如圖，A、B、C是⊙O上的三點，以BC為一邊，作∠CBD=∠ABC，過BC上一點P，作PE∥AB交BD于點E，PF⊥BD于F，若BE=3，BF=

3 2

2

+3，則∠AOC=

45°

．

Answer 1

分析：首先由∠CBD=∠ABC，PE∥AB，可證得△PBE是等腰三角形，又由BE=3，BF=

3 2

2

+3，即可求得PE與EF的長，再由PF⊥BD，由特殊角的三角函數值，即可求得∠PEF的度數，繼而求得∠AOC的度數．

解答：解：∵PE∥AB，
∴∠BPE=∠ABC，
∵∠CBD=∠ABC，
∴∠CBD=∠BPE，
∴PE=BE=3，
∵BF=

3 2

2

+3，
∴EF=BF-BE=

3 2

2

，
∵PF⊥BD，
∴在Rt△PEF中，cos∠PEF=

EF

PE

=

2

2

，
∴∠PEF=45°，
∵∠PEF=∠PBE+∠BPE=2∠PBE=2∠ABC=45°，
∴∠AOC=2∠ABC=45°．
故答案為：45°．

點評：此題考查了圓周角定理、等腰三角形的判定與性質以及三角函數等知識．此題難度適中，解題的關鍵是掌握同弧或等弧所對的圓周角相等定理的應用，注意有平行線與角平分線，可以構造等腰三角形．