Question

設拋物線與x軸交于兩個不同的點A(一1，0)、B(m，0)，與y軸交于點C.且∠ACB=90°．

(1)求m的值和拋物線的解析式；

(2)已知點D(1，n )在拋物線上，過點A的直線交拋物線于另一點E．若點P在x軸上，以點P、B、D為頂點的三角形與△AEB相似，求點P的坐標．

(3)在(2)的條件下，△BDP的外接圓半徑等于________________．

Answer 1

解：(1)令x=0，得y=－2   ∴C(0，一2)．∵ACB=90°，CO⊥AB,．

∴ △AOC ∽△COB,．∴；∴OB=  ∴m=4．

將A(-1,0),B(4,0)代入，

∴拋物線的解析式為

（2）D(1,n),代入，得n=-3。

由得

∴E（6，7）.過E作EH⊥X軸于H,則H(6,0).

∴AH=EH=7. ∴∠EAH=45⁰

過D作DF⊥X軸于F,則F(1,0).

∴BF=DF=3, ∴∠DBF=45⁰ ,∠EAH=∠DBF=45⁰

∴∠DBH=135⁰,90⁰<∠EBA<135⁰.

則點P只能在點B的左側，有以下兩種情況：

①若△DBP₁∽△EAB,則

∴

∴ ∴

②若△DBP₂∽△BAE，則

∴

∴ ∴

綜合①②，得點P坐標為或

（3）或