Question

（本題滿分12分）

設拋物線與X軸交于兩不同的點(點A在點B的左邊)，與y軸的交點為點C(0,-2)，且∠ACB=90⁰．

1.（1）求m的值和該拋物線的解析式；

2.（2）若點D為該拋物線上的一點，且橫坐標為1，點E為過A點的直線y=x+1與該拋物線的另一交點.在X軸上是否存在點P，使得以P、B、D為頂點的三角形與△AEB相似，若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．

3.（3）連結AC、BC，矩形FGHQ的一邊FG在線段AB上，頂點H、Q分別在線段AC、BC上，若設F點坐標為（t，0），矩形FGHQ的面積為S，當S取最大值時，連接FH并延長至點M，使HM=k·FH，若點M不在該拋物線上，求k的取值范圍．

 

Answer 1

 

1.①∵∠ACB=90⁰，

∴OC⊥AB，可得OC²=OA·OB，OB=4，B（4，0），

設拋物線為：y=a（x+1）（x-4），點C在拋物線上，

可得a=，∴y=

2.②由題意可得D（1，-3），設AE與Y軸交于點N，

可得A（-1，0），N（0，1），∴OA=ON，∠EAB =45⁰，

過D作DR⊥X軸于R，∴DR=BR=3，∠DBO =45⁰，

∴∠DBO=∠EAB，由y=x+1和y=可求得

E（6，7），且AE=7，AB=5，BD=3，

設P點為（x_p，0），要使△BDP∽△ABE，需要滿足（1）或（2）．

若滿足（1），則有，x_p =．若滿足（2），則有，x_p =．

∴存在點P，使得以P、B、D為頂點的三角形與△AEB相似，P點為（，0），（，0）

3.③由題意可求得：AC：y= -2x-2，BC：y=x-2，可得Q（t，t-2），把y=t -2代入y= -2x-2中，

得x=，而0＜t＜4，FG=，S=·（）=當t=2時，S最大．

此時F（2，0），H（-），FH=，直線FH為y=．由=，得x=（舍去了正值），設FH與拋物線交于點I，過I作IJ⊥X軸于J，所以

，由于M點不在拋物線上，則k＞0，且k≠．

解析:略