Question

18、已知方程x²+2（k-2）x+k²+4=0有兩個實數根，且這兩個實數根的平方和比兩根的積大21，求k的值和方程的兩個根．

Answer 1

分析：先根據方程有兩個實數根判斷出k的取值范圍，設出方程的兩個實數根，再根據一元二次方程根與系數的關系建立起關系式，再根據這兩個實數根的平方和比兩根的積大21可列出關于k的方程，求出k的值，再把k的值代入原方程即可解答．

解答：解：∵方程x²+2（k-2）x+k²+4=0有兩個實數根，
∴△=4（k-2）²-4（k²+4）≥0，
∴k≤-1，
設方程的兩根分別為x₁、x₂，
∴x₁+x₂=-2（k-2）…①，x₁•x₂=k²+4…②，
∵這兩個實數根的平方和比兩根的積大21，即x₁²+x₂²=x₁•x₂+21，
即（x₁+x₂）²-3x₁•x₂=21，
把①、②代入得，4（k-2）²-3（k²+4）=21，
∴k=17（舍去）或k=-1，
∴k=-1，
∴原方程可化為x²-6x+5=0，
解得x₁=1，x₂=5．

點評：此題比較復雜，考查的是一元二次方程的判別式及根與系數的關系，解答此題的關鍵是先判斷出k的取值范圍，再根據根與系數的關系解答．