Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D在BC上，且BD＝BA，點E在BC的延長線上，且CE＝CA．

（1）若∠BAC＝90°（圖1），求∠DAE的度數；

（2）若∠BAC＝120°（圖2），求∠DAE的度數；

（3）當∠BAC＞90°時，探求∠DAE與∠BAC之間的數量關系，直接寫出結果．

Answer 1

【答案】（1）∠DAE＝45°，（2）∠DAE＝60°；（3）∠DAE＝∠BAC

【解析】

（1）由于AB＝AC，∠BAC＝90°，從而求出∠B＝∠ACB＝45°，又因為BD＝BA，可知∠BAD＝∠BDA＝67．5°，因為CE＝CA，可知∠CAE＝∠E＝∠ACB＝22．5°，最后可求出得∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝45°．

（2）由于AB＝AC，∠BAC＝120°，從而求出∠B＝∠ACB＝30°，又因為BD＝BA，可知∠BAD＝∠BDA＝75°，因為CE＝CA，可知∠CAE＝∠E＝∠ACB＝15°，最后可求出得∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝60°．

（3）可設∠CAE＝x，∠BAD＝y，則∠B＝180°﹣2y，∠E＝∠CAE＝x，從而可知∠BAE＝2y﹣x，∠DAE＝y﹣x，∠BAC＝2y﹣2x，所以可知∠DAE＝∠BAC，

（1）如圖1，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，

∴∠B＝∠ACB＝45°，

∵BD＝BA，

∴∠BAD＝∠BDA＝（180°﹣∠B）＝67．5°，

∵CE＝CA

∴∠CAE＝∠E＝∠ACB＝22．5°，

∴∠BAE＝180°﹣∠B﹣∠E＝112．5°，

∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝45°，

（2）如圖2，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，

∴∠B＝∠ACB＝30°，

∵BA＝BD，

∴∠BAD＝∠BDA＝75°，

∴∠DAC＝45°，

∵CA＝CE，

∴∠E＝∠CAE＝15°，

∴∠DAE＝∠DAC+∠CAE＝60°；

（3）∠DAE＝∠BAC，

理由：設∠CAE＝x，∠BAD＝y，

則∠B＝180°﹣2y，∠E＝∠CAE＝x，

∴∠BAE＝180°﹣∠B﹣∠E＝2y﹣x，

∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝2y﹣x﹣y＝y﹣x，

∠BAC＝∠BAE﹣∠CAE＝2y﹣x﹣x＝2y﹣2x

∴∠DAE＝∠BAC．